Pi-Day

Anche quest’anno, il 14 di marzo, o 3/14/2022 come direbbero gli americani, è il π – day. Ma cos’è questo numero, e perché i matematici ci tengono tanto? Sarà la solita cosa da nerd che appassiona solo pochi e non serve a niente? Vediamo di conoscere meglio questo numero, poi a ognuno il proprio giudizio.

Con la lettera greca π (pi greca o pi greco) si indica un numero irrazionale e trascendente, cioè, detto con parole comprensibili, un numero decimale, illimitato e non periodico che non può essere scritto sotto forma di frazione. Il fatto di essere trascendente significa poi che π non è soluzione di nessuna equazione polinomiale a coefficienti razionali. Insomma è un numero con la virgola che fa un po’ quello che gli pare.

In diversi hanno provato a trovare una formula che permettesse di calcolarlo e qualcuno ci è anche riuscito.

Ne sono un esempio:

  • la serie di Gregory-Leibniz  : π/4 = 1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 …
  • il prodotto di Wallis   : π/2 = 2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * 6/7* …

Ben più noti i tentativi di ottenerne una relazione nella geometria, dove π rappresenta ad esempio il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e quella del suo diametro, oppure il rapporto tra l’area del cerchio e il quadrato del suo raggio:

π = C ∕d

π = Ar²

Questo significa che se adagiamo su una circonferenza il suo diametro ci sta poco più di 3 volte, per l’esattezza π volte; se poi vediamo quante volte l’area del quadrato costruito su un raggio è contenuto nell’area del cerchio che genera, anche qui otterremo π volte.
Dalle due formule scritte in precedenza possiamo inoltre ottenere, proprio grazie a π, anche la relazione tra la circonferenza e l’area del cerchio:

C = A*2 / r

A= c / 2 * r

Pi greco compare anche nella misura degli angoli: π radianti è infatti la misura di un angolo di 180°. Questo è conseguenza diretta della definizione di radiante: un angolo al centro di una circonferenza ha l’ampiezza di 1 radiante se stacca sulla circonferenza stessa un arco di lunghezza pari al raggio. Siccome il diametro è contenuto nella circonferenza π volte, il raggio sta π volte nella semicirconferenza (che è l’arco corrispondente a un angolo al centro di 180°).

La relazione di Eulero, una delle più affascinanti equazioni della matematica, vede coinvolte 5 costanti matematiche, tra cui, neanche a dirlo, π :

e+ 1 = 0

Dove:

  • e è la costante di Giovanni Nepero (da bravi italiani traduciamo tutto, nomi compresi; in realtà il matematico scozzese che ha introdotto e agli inizi del ‘600 si chiamava John Napier);
  • i è chiamata unità immaginaria: è quel numero il cui quadrato vale -1 e ci permette di calcolare le radici con indice pari dei numeri negativi ampliando l’insieme dei numeri reali. Ad esempio: ²√ -4 = ²√4* ( -1) = ²√4 * ²√ -1 = ± 2i

Per secoli i matematici provarono a far quadrare i conti e a quadrare il cerchio. Dei due tentativi, il secondo non andò mai a buon fine. Nel 1882, dopo secoli di tentativi, ipotesi e congetture, fu finalmente dimostrato che non è possibile ottenere con riga e compasso un quadrato che abbia la stessa area di un cerchio assegnato. Il motivo di questo fallimento è sempre riconducibile a π: il quadrato cercato dovrebbe avere lato l = r ²√π , ma essendo π un numero trascendente, questa operazione non si può eseguire con riga e compasso.

Vediamo infine un metodo statistico per il calcolo di π, cioè il problema dell’ago di Buffon. Non il portierone italiano ma George-Luis Leclerc conte di Buffon che nel XVIII secolo propose il seguente problema:

Si supponga di lasciar cadere un ago corto su un foglio a righe. Qual è la probabilità che l’ago venga a trovarsi in una posizione tale da incrociare una delle righe?

Per calcolare tale probabilità p si deve sicuramente tener conto della distanza d tra le righe del foglio e della lunghezza l dell’ago (si andrà a supporre che l≤d in modo che un ago non possa intersecare contemporaneamente due righe):

p = 2* l / π * d

Utilizzando la definizione classica, possiamo definire la probabilità di un evento E come il numero dei casi favorevoli al verificarsi di E diviso per il numero dei casi possibili. Nel nostro caso il numero dei casi possibili è il totale dei lanci effettuati T, mentre i casi favorevoli sono i soli aghi che hanno intersecato una riga l. Possiamo quindi andare a ricavare in modo sperimentale una buona approssimazione di π:

π = 2* l * T / d * l

Ciò che abbiamo elencato ci permette di avere un’idea di quanto sia speciale questo numero che da secoli appassiona matematici e non solo con la sua presenza costante in molti ambiti scientifici.

Questo breve scritto nasce senza alcuna pretesa né illusione di raccontare in modo esaustivo le caratteristiche di pi greco, ma con la sola volontà di incuriosire i lettori e giustificare, almeno in parte, l’annuale tributo.

Autore: Marco Reho – vicepresidente

Marzo 14, 2022

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